चक्रवृद्धि ब्याज और Rule of 72, आसान भाषा में

इस साइट का हर कैलकुलेटर, FD कैलकुलेटर से लेकर SIP कैलकुलेटर तक, एक ही बात पर टिका है: ब्याज पर भी ब्याज मिलता है। “कंपाउंडिंग की ताक़त” जुमला सबने सुना है, पर असली अंक कम लोगों ने देखे हैं, और ज़्यादातर समझाइश फ़ॉर्मूले पर ख़त्म हो जाती है। यह गाइड दिखाती है कि चक्रवृद्धि एक असली रकम के साथ साल-दर-साल क्या करती है, ब्याज जुड़ने का अंतराल सोच से ज़्यादा क्यों मायने रखता है, और Rule of 72 से आप दिमाग़ में ही दोगुना होने का समय कैसे अंदाज़ सकते हैं। यह नियम एक शॉर्टकट है, और हम इसे सटीक गणना से मिलाकर दिखाते हैं ताकि आप जानें कि इस पर कितना भरोसा करना है।

सारे अंक उन्हीं फ़ंक्शनों से बने हैं जो हमारे कैलकुलेटर चलाते हैं। दरें मानी हुई उदाहरण दरें हैं, गणित साफ़ दिखाने के लिए चुनी गई; किसी बैंक या फ़ंड की दर नहीं।

साधारण ब्याज: हर साल उतना ही

साधारण ब्याज सिर्फ़ मूल रकम पर बनता है। ₹1,00,000 पर 8% साधारण ब्याज हर साल ₹8,000 देता है, हमेशा। 10 साल बाद:

कमाया ब्याज: ₹80,000
कुल: ₹1,80,000

नॉन-क्यूमुलेटिव FD यही करती है जब वह हर साल ब्याज खाते में भेज दे और आप उसे ख़र्च कर दें, और “8% सालाना” सुनकर ज़्यादातर लोग यही तस्वीर बनाते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज: ब्याज मूलधन में मिल जाता है

क्यूमुलेटिव जमा में पहले साल के ₹8,000 जमा में जुड़ जाते हैं। दूसरे साल 8% ₹1,08,000 पर बनता है, यानी ₹8,640। तीसरे साल ₹1,16,640 पर। हर साल का ब्याज पिछले से थोड़ा बड़ा। सालाना चक्रवृद्धि पर 10 साल बाद:

कमाया ब्याज: ₹1,15,893
कुल: ₹2,15,893

अतिरिक्त ₹35,893 वह ब्याज है जो पहले के ब्याज ने कमाया। 10 साल में छोटा; 20 साल में छोटा नहीं:

साल	साधारण ब्याज, 8%	चक्रवृद्धि ब्याज, 8% सालाना	चक्रवृद्धि से बढ़त
1	₹1,08,000	₹1,08,000	₹0
2	₹1,16,000	₹1,16,640	₹640
3	₹1,24,000	₹1,25,971	₹1,971
5	₹1,40,000	₹1,46,933	₹6,933
10	₹1,80,000	₹2,15,893	₹35,893
15	₹2,20,000	₹3,17,217	₹97,217
20	₹2,60,000	₹4,66,096	₹2,06,096

आख़िरी कॉलम को ऊपर से नीचे पढ़िए। शुरुआती सालों में फ़ासला नाम-मात्र है और फिर रफ़्तार पकड़ता है: चक्रवृद्धि रकम से कहीं ज़्यादा समय का इनाम देती है। “कंपाउंडिंग की ताक़त” में ताक़त यही है, और इसीलिए “जल्दी शुरू करो” नारा नहीं, गणित है।

ब्याज जुड़ने का अंतराल: सालाना, तिमाही, मासिक

“8% सालाना” साल में एक बार, हर तिमाही या हर महीने जोड़ा जा सकता है। ब्याज जितनी जल्दी जुड़ता है, उतनी जल्दी ख़ुद ब्याज कमाने लगता है। वही ₹1,00,000, वही 8%, वही 10 साल:

ब्याज कब जुड़ता है	10 साल बाद मैच्योरिटी	असरदार सालाना दर
सालाना	₹2,15,892.50	8%
तिमाही (बैंक)	₹2,20,803.97	8.24%
मासिक	₹2,21,964.02	8.3%

भारतीय बैंक टर्म डिपॉज़िट का ब्याज तिमाही जोड़ते हैं, इसलिए तिमाही वाली पंक्ति ही वह है जो FD सचमुच देती है, और इसीलिए FD कैलकुलेटर बताई गई दर से थोड़ी ऊपर “effective yield” दिखाता है: तिमाही जुड़ने वाला 8% सालाना जुड़ने वाले 8.24% जैसा व्यवहार करता है। तिमाही और मासिक का फ़र्क़ छोटा है; साधारण और किसी भी चक्रवृद्धि का फ़र्क़ छोटा नहीं।

Rule of 72: दोगुना होने का समय दिमाग़ में

किसी दर पर पैसा दोगुना होने में कितना समय लगता है? सटीक जवाब के लिए लघुगणक (logarithm) चाहिए। Rule of 72 उसकी जगह एक भाग देता है:

दोगुना होने के साल  ≈  72 ÷ सालाना दर (% में)

8% पर 72 ÷ 8 = 9 साल। 12% पर 6 साल। 6% पर 12 साल। यह उल्टा भी चलता है: 10 साल में दोगुना करना हो तो लगभग 72 ÷ 10 = 7.2% सालाना चाहिए।

यह नियम अनुमान है, गणना नहीं। सालाना चक्रवृद्धि पर सटीक दोगुना-समय, ln 2 ÷ ln(1 + r), से इसकी तुलना:

सालाना दर	Rule of 72 कहता है	सटीक दोगुना-समय	नियम की चूक
4%	18.0 साल	17.67 साल	+0.33 साल
6%	12.0 साल	11.90 साल	+0.10 साल
8%	9.0 साल	9.01 साल	-0.01 साल
10%	7.2 साल	7.27 साल	-0.07 साल
12%	6.0 साल	6.12 साल	-0.12 साल
15%	4.8 साल	4.96 साल	-0.16 साल
18%	4.0 साल	4.19 साल	-0.19 साल

8% के आसपास नियम लगभग सटीक है, कम दरों पर थोड़ा ज़्यादा बताता है और ऊँची दरों पर थोड़ा कम। भारतीय बचतकर्ता या निवेशक को जो भी दर मिलेगी, 6% की जमा से 15% के माने हुए इक्विटी रिटर्न तक, चूक एक चौथाई साल से कम है: फ़ैसले के लिए काफ़ी, खाते के स्टेटमेंट के लिए नहीं। सटीक अंक के लिए कैलकुलेटर।

हमारे SIP कैलकुलेटर के एकमुश्त फ़ंक्शन से जाँच, ₹1,00,000 पर 8% सालाना चक्रवृद्धि:

9 साल बाद (नियम के हिसाब से एक बार दोगुना): ₹1,99,900, ₹2,00,000 से ज़रा-सा कम, जैसा तालिका कहती है
18 साल बाद (दो बार दोगुना): ₹3,99,602, लगभग 4 गुना
27 साल बाद (तीन बार दोगुना): ₹7,98,806, लगभग 8 गुना

हर दोगुना-अवधि पिछले कुल को दोगुना करती है, मूल रकम को नहीं। तीन बार दोगुना 8 गुना है, 6 गुना नहीं, और “कंपाउंडिंग की ताक़त” पूरी की पूरी इसी एक पंक्ति में है।

हर महीने निवेश पर चक्रवृद्धि: SIP का मामला

SIP भी ऐसे ही चक्रवृद्धि पाती है, बस उसमें नया पैसा आता रहता है। मानी हुई 12% सालाना दर पर, ₹5,000 महीना:

साल	आप लगाते हैं	अनुमानित मूल्य	लगाए पैसे का … गुना
10	₹6,00,000	₹11,61,695	1.9×
20	₹12,00,000	₹49,95,740	4.2×
30	₹18,00,000	₹1,76,49,569	9.8×

30 साल का अंक 10 साल के अंक का 3 गुना नहीं है; लगभग 15 गुना है। बाद में किस्त दोगुनी करने से भी भरपाई नहीं होती: उसी दर पर ₹10,000 महीना 20 साल तक ₹99,91,479 देता है, जो ₹5,000 महीना 30 साल (₹1,76,49,569) से अब भी काफ़ी कम है। चक्रवृद्धि के दस अतिरिक्त साल दोगुने पैसे पर भारी पड़े। (12% एक मान्यता है, वादा नहीं; इक्विटी रिटर्न साल-दर-साल बहुत बदलते हैं। बात वक्र के आकार की है, जो हर दर पर वैसा ही रहता है।)

लोन पर चक्रवृद्धि आपके ख़िलाफ़ चलती है

जब आप पर क़र्ज़ हो तो यही गणित उल्टा चलता है। लोन का ब्याज हर महीने बक़ाया रकम पर लगता है, इसलिए न चुकाया बैलेंस ठीक वैसे बढ़ता है जैसे जमा बढ़ती है। इसीलिए क्रेडिट कार्ड का बैलेंस, जिस पर मान लीजिए महीने का 3% लगता हो (चक्रवृद्धि के साथ साल का 42% से ऊपर), लगभग दो साल में दोगुना हो जाता है, और इसीलिए होम लोन जल्दी प्रीपे करने से इतनी बचत होती है: आप मूलधन को आपके ख़िलाफ़ चक्रवृद्धि पाने से पहले हटा रहे हैं। हमारी EMI गाइड और प्रीपेमेंट गाइड में अंक हैं।

आम ग़लतफ़हमियाँ

“10 साल तक 8% मतलब 80%।” यह साधारण ब्याज है। सालाना चक्रवृद्धि पर यह 115.9% है, और तिमाही पर 120.8%।
Rule of 72 को स्टेटमेंट की तरह इस्तेमाल करना। यह मन का अनुमान है। जमा रसीद, लोन शेड्यूल और टैक्स की गणना सटीक फ़ॉर्मूले से होती है, और हमारे कैलकुलेटर भी।
महँगाई भूल जाना। 8% पर 9 साल में पैसा दोगुना होना उतना प्रभावशाली नहीं अगर क़ीमतें भी बढ़ रही हों। असली दर मोटे तौर पर नाममात्र दर घटा महँगाई है, और Rule of 72 उस पर भी चलता है: असली 3% पर ख़रीदने की ताक़त लगभग 24 साल में दोगुनी होती है।
टैक्स भूल जाना। जमा का ब्याज हर साल कर-योग्य है, जिससे असरदार चक्रवृद्धि दर घटती है। 30% स्लैब वाले के लिए टैक्स से पहले का 8% टैक्स के बाद, सेस से पहले, लगभग 5.6% पर चक्रवृद्धि पाता है।
यह मानना कि दर समय से ज़्यादा मायने रखती है। SIP तालिका में 10 से 30 साल जाने पर नतीजा 15 गुना हुआ। दर का कोई यथार्थवादी बदलाव ऐसा नहीं करता।

फ़ॉर्मूले

साधारण ब्याज:                     A = P × (1 + r × t)
चक्रवृद्धि, साल में n बार:          A = P × (1 + r/n)^(n × t)
सटीक दोगुना-समय (साल):           t = ln 2 ÷ ln(1 + r)       (सालाना चक्रवृद्धि)
Rule of 72 (अनुमान):              t ≈ 72 ÷ (r × 100)
P = मूलधन, r = सालाना दर ÷ 100, t = साल, n = साल में ब्याज जुड़ने की बार

अपनी रकम FD कैलकुलेटर (इसमें ब्याज जुड़ने का अंतराल बदला जा सकता है) और SIP कैलकुलेटर में आज़माइए।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या Rule of 72 सटीक है? सालाना चक्रवृद्धि पर लगभग 4% से 15% की दरों के बीच सटीक अंक से कुछ महीनों के भीतर; 8% के पास सबसे सटीक। अनुमान के लिए नियम, फ़ैसले के लिए कैलकुलेटर।

72 ही क्यों, 70 या 69 क्यों नहीं? सतत (continuous) चक्रवृद्धि के लिए सटीक स्थिरांक 69.3 (100 × ln 2) है। 72 इसलिए चलता है कि आम दरों पर काफ़ी क़रीब है और 2, 3, 4, 6, 8, 9 और 12 से साफ़ भाग हो जाता है।

FD में ब्याज मासिक जुड़ता है या तिमाही? भारत में बैंक टर्म डिपॉज़िट का ब्याज तिमाही जोड़ते हैं। हमारा FD कैलकुलेटर डिफ़ॉल्ट तिमाही रखता है और बदलने देता है।

क्या Rule of 72 SIP पर चलता है? सीधे नहीं, क्योंकि नया पैसा आता रहता है। यह एक बार लगाई रकम पर लागू है। किस्तों के लिए SIP कैलकुलेटर इस्तेमाल करें।

क्या चक्रवृद्धि ब्याज और CAGR एक ही चीज़ हैं? CAGR (compound annual growth rate) वह एक सालाना दर है जो शुरुआती मूल्य को एक अवधि में अंतिम मूल्य बना दे, सालाना चक्रवृद्धि मानकर। यह वही फ़ॉर्मूला उल्टा चलाया हुआ है: A, P और t दिए हों तो r निकालिए।